تبلیغات
نخبگان ریاضی - مثلثات

مثلثات

دوشنبه 12 اسفند 1387 11:39 ب.ظ

نویسنده : راشد رزوقی
مثلثات یکی از شاخه‌های ریاضیات است که با سه‌گوش‌ها و زاویه‌ها و تابع‌های مثلثاتی مثل سینوس و کسینوس سر و کار دارد. مثلات در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات محض و همچنین ریاضیات کاربردی کاربرد دارد. به همین ترتیب مثلثات در علوم طبیعی نیز دارای کاربرد است.

مثلث قائم‌الزاویه مثلثی است که یکی از زوایای آن قائمه (۹۰ درجه) باشد

در حالت خاص اگر یکی از زوایا ۳۰ درجه باشد، ضلع مقابل آن زاویه نصف وتر است.وتر به ضلع روبرو به زاویه ۹۰ درجه میگویند. بزرگ‌ترین ضلع در مثلث قائم الزاویه وتر است.

در مثلث قائم‌الزاویه مجموع مربع‌های طول دو ضلع برابر با مربع طول وتر است.


در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به وتر را سینوس آن زاویه می‌نامند.
سینوس را در متن‌های عربی و فارسی قدیم «جیب» می‌نامیدند
طبق تعریف بالا در مثلث روبه‌رو داریم:
sin A=\frac{BC}{AC} و sin C=\frac{AB}{AC}

تغییرات سینوس

اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات سینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:

θ اندازه کمان 0 \nearrow \frac{\pi}{2} \nearrow π \nearrow \frac{3\pi}{2} \nearrow
sinθ 0 \nearrow 1 \searrow 0 \searrow -1 \nearrow 0

تابع سینوس x

تابع سینوس

تابع سینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه سینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = sinx گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن می‌باشد.


تعریف


مثلث ABC

در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مجاور هر زاویه حاده به وتر را کسینوس آن زاویه می‌نامند.
با توجه به تعریف سینوس در مثلث ABC خواهیم داشت:
sin A=\frac{BC}{AC}
sin C=\frac{AB}{AC}

می‌دانیم که زوایای B و C متمم یکدیگرند (\angle A=(\frac{\pi}{2}-C)). پس داریم:
sin(\frac{\pi}{2}-A)=cos C
cos(\frac{\pi}{2}-A)=sin C

تغییرات کسینوس

اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات کسینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:

θ اندازه کمان 0 \nearrow \frac{\pi}{2} \nearrow π \nearrow \frac{3\pi}{2} \nearrow
cosθ 1 \searrow 0 \searrow -1 \nearrow 0 \nearrow 1



تابع کسینوس x


 ناریخچه

کتانژانت،

کتانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی است که در ریاضیات و اخترشناسی کاربرد فراوان دارد و در گذشته به آن ظل تمام می‌گفتند.

این نسبت مثلثاتی چنین تعریف می‌شود: نسبت ضلع مجاور به زاویه حاده، به ضلع قابل آن در مثلث قائم‌الزاویه.

این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات خُرد است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.

.



تعریف تانژانت

تانژانت در مثلث قائم‌الزاویه چنین تعریف می‌شود؛ نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به ضلع مجاور آن.
به عنوان مثال در مثلث روبه‌رو تانژانت زاویه تتا برابر است با \frac{BC}{AC}.


تابع تانژانت


تابع F(x) = tan(x)

نمودار تابع تانژانت به شکل روبه‌رو است. این تابع:

  • پیوسته نیست.
  • متناوب است (با دوره تناوب π).
  • دارای بینهایت مجانب عمودی است.


شیب خط

در نمودار‌هایی که شکل یک تابع را نشان می‌دهند شیب نمودار (یا خط مماس بر نمودار) در هر نقطه برابر است با تانژانت زاویه‌ای که خط مماس بر آن نقطه از منحنی، با جهت مثبت محور افقی (محور xها) می‌سازد




دیدگاه ها : نظرات
آخرین ویرایش: - -